设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．

admin2016-09-30 77

问题设α₁，α₂，…，α_n(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α₁+α₂，α₂+α₃，…，α_n+α₁线性无关．

选项

答案设有x₁，x₂，…，x_n，使x₁(α₁+α₂)+x₂(α₂+α₃)+…+x_n(α_n+α₁)=0，即 (x₁+x_n)α₁+(x₁+x₂)α₂+…+(x_n—1+x_n)α_n=0，因为α₁，α₂，…，α_n线性无关，所以有[*]该方程组系数行列式D_n=1+(一1)ⁿ⁺¹，n为奇数←→D_n≠0←→x₁=…=x_n=0 ←→α₁+α₂，α₂+α₃，…，α_n+α₁线性无关．

解析

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考研数学一

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