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设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．
设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1+α2，α2+α3，…，αn+α1线性无关．
admin
2016-09-30
74
问题
设α
1
，α
2
，…，α
n
(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n
+α
1
线性无关．
选项
答案
设有x
1
，x
2
，…，x
n
，使x
1
(α
1
+α
2
)+x
2
(α
2
+α
3
)+…+x
n
(α
n
+α
1
)=0，即 (x
1
+x
n
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
n—1
+x
n
)α
n
=0， 因为α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关，所以有[*]该方程组系数行列式D
n
=1+(一1)
n+1
，n为奇数←→D
n
≠0←→x
1
=…=x
n
=0 ←→α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，…，α
n
+α
1
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/azu4777K
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考研数学一
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