2. 考研
  3. 已知3阶矩阵A满足∣A－E∣＝∣A－2E∣＝∣A＋E∣＝a，其中E为3阶单位矩阵． 当a＝2时，求行列式∣A＋3E∣的值．

已知3阶矩阵A满足∣A－E∣＝∣A－2E∣＝∣A＋E∣＝a，其中E为3阶单位矩阵． 当a＝2时，求行列式∣A＋3E∣的值．

admin2021-04-07  55
问题 已知3阶矩阵A满足∣A－E∣＝∣A－2E∣＝∣A＋E∣＝a，其中E为3阶单位矩阵．
当a＝2时，求行列式∣A＋3E∣的值．
选项
答案当a＝2时，设f(λ)＝∣λE－A∣是A的特征多项式，g(λ)＝f(λ)＋2则 g(1)＝f(1)＋2＝∣E－A∣＋2＝0， g(2)＝f(2)＋2＝∣2E－A∣＋2＝0， g(－1)＝f(－1)＋2＝∣E－A∣＋2＝0， 所以g(λ)＝(λ－1)(λ－2)(λ＋1)＝λ3－2λ2－λ＋2，由此得 f(λ)＝g(λ)－2＝λ(λ2－2λ－1) 令f(λ)＝0，解得A的特征值为0，1＋[*]，1－[*]，所以A＋3E的特征值为3，4＋[*]，4－[*]，故 ∣A＋3E∣＝3(4＋[*])(4－[*])＝42。
解析
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考研数学二

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