设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0．证明：ξ∈(a，b)，使fˊˊ(ξ)g(ξ)+2fˊ(ξ)gˊ(ξ)+f(ξ)gˊˊ(ξ)=0．

admin2016-09-13 53

问题设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0．证明：

ξ∈(a，b)，使fˊˊ(ξ)g(ξ)+2fˊ(ξ)gˊ(ξ)+f(ξ)gˊˊ(ξ)=0．

选项

答案令F(x)=f(x)g(x)，在x=a点展开泰勒公式． F(x)=F(a)+Fˊ(a)(x－a)+[*]Fˊˊ(ξ)(x－a)²(a＜ξ＜x)． ① 令x=6，代入①式，则 F(b)=F(a)+Fˊ(a)(b－a)+[*]Fˊˊ(ξ)(b－a)² (a＜ξ＜b)． ② 因f(a)=f(b)=g(a)=0，则F(a)=F(b)=0，且Fˊ(a)=0，代入②式，得Fˊˊ(ξ)=0．即 fˊˊ(ξ)g(ξ)+2fˊ(ξ)gˊ(ξ)+f(ξ)gˊˊ(ξ)=0．

解析

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考研数学三

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