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  3. [2008年] 设f(x)是连续函数．当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数．

[2008年] 设f(x)是连续函数．当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数．

admin2021-01-15  36
问题 [2008年] 设f(x)是连续函数．当f(x)是以2为周期的周期函数时，证明函数G(x)=2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt也是以2为周期的周期函数．
选项
答案证一 因f(x)是周期为2的连续函数，故对任意实数x，有∫xx+2f(t)dt=∫02f(t)dt． 下面用定义证G(x)为周期为2的周期函数，即证G(x+2)=G(x)． G(x+2)=2∫0x+2f(t)dt一(x+2)∫02f(t)dt=∫0x+22f(t)dt—2∫02f(t)dt一x∫02f(t)dt =2(∫0x+2f(t)dt+∫20f(t)dt)一x∫02f(t)dt=2∫2x+2f(t)dt—x02f(t)dt =2∫2x+2f(t一2)d(t一2)一x∫02f(t)dt [*] 2∫0xf(u)du一x∫02f(t)dt =2∫0xf(t)dt一x∫02f(t)dt=G(x)． 证二 令H(x)=G(x+2)一G(x)．下证H(x)=0．利用(1)的结论知，G(x+2)，G(x)均可导，且 H’(x)=[G(x+2)—G(x)]’=[2∫0x+2f(t)dt一(x+2)∫02f(t)dt]’—[2∫0xf(t)dt—x∫02f(t)dt]’ =2f(x+2)一∫02f(t)dt一2f(x)+∫02f(t)dt=0， 故H(x)≡C(常数)．又因 H(0)=G(2)一G(0)=(2∫02f(t)dt一2∫02f(t)dt)一0=0， 所以C=0，即H(x)=0，亦即G(x+2)=G(x)．
解析
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考研数学一

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