2. 考研
  3. 设有抛物线C1：x2=ay和圆C2：x2+y2=2y， (Ⅰ)确定a的取值范围，使得C1，C2交于三点O，M，P(如图)； (Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值； (Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V。

设有抛物线C1：x2=ay和圆C2：x2+y2=2y， (Ⅰ)确定a的取值范围，使得C1，C2交于三点O，M，P(如图)； (Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值； (Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V。

admin2020-05-16  121
问题 设有抛物线C1：x2=ay和圆C2：x2+y2=2y，
(Ⅰ)确定a的取值范围，使得C1，C2交于三点O，M，P(如图)；
(Ⅱ)求抛物线C1与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值；
(Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积V。
选项
答案(Ⅰ)[*]得ay+y2=2y，解得y=0，y=2-a，由0＜y=2-a＜2，可得0＜a＜2，此时C1与C2的三交点是0(0，0)，[*]。 (Ⅱ)由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积[*]，要使S(a)最大，只要f(a)=a(2-a)3最大(0＜a＜2)，由于是f’(a)=(2-a)3-3a(2-a)2=[*]→a=[*]时，[*]最大。 此时所求面积的最大值[*]。 (Ⅲ)由旋转体的体积计算公式可得所求旋转体的体积(圆柱体体积减去而被抛物旋转体的体积)为[*]。
解析
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考研数学三

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