设f(x)在[a，b]上可导，且f′+(a)与f′－(b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使得f′(ξ)=0．

admin2016-10-26 87

问题设f(x)在[a，b]上可导，且f′₊(a)与f′_－(b)反号，证明：存在ξ∈(a，b)使得f′(ξ)=0．

选项

答案由极限的不等式性质和题设知，存在δ＞0使得a+δ＜b－δ且 [*] 于是 f(a+δ)＞f(a)，f(b－δ)＞f(b)．这表明f(x)在[a，b]上的最大值必在(a，b)内某点取到，即存在ξ∈(a，b)使得f(ξ)=[*]f(x)．由费马定理知f′(ξ)=0．

解析因f(x)在[a，b]上可导，因而必连续，故存在最大值和最小值．如能证明最大值或最小值在(a，b)内取得，那么这些点的导数值必为零，从而证明了命题．注意，由于题设条件中未假设f′(x)连续，所以不能用连续函数的介值定理来证明．证明时不妨设f′₊(a)＞0且f′_－(b)＜0．

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考研数学一

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