[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设

admin2019-04-17 88

问题 [2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m³／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm²／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．

根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；

选项

答案液面的面积以πm²／min的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为π·2²+πt，而液面为圆，其面积可易求得为πφ²(y)，由此可导出t与φ(y)之间的关系式．液体体积可根据旋转体的体积公式用定积分求出，又已知t时刻的液体体积为3t，据此又可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可．设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为πφ²(y)=4π+πt，从而t=φ²(y)一4．

解析

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考研数学二

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[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设

考研数学二

设4阶方阵A满足A(E－C-1)TCT＝E，化简上述关系式并求A．

证明n阶行列式

已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5)，其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量，α1,α2,α4线性无关，又设α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f（A）=f（B）=g(a)=g(b)=0，试证：在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使

设矩阵A=相似于对角矩阵．(1)求a的值；(2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

求极限：

设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得f(ξ)=∫0ξf(t)dt．

设y＝y(χ)，z＝z(χ)是由方程z＝χf(χ＋y)和F(χ，y，z)＝0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求_______．

曲线y2＝2χ在任意点处的曲率为_______．

若[x]表示不超过x的最大整数，则积分∫04[x]dx的值为()

马克思主义中国化理论成果的精髓是()

A．千日疮B．扁瘊C．鼠乳D．丝状疣E．疣目发于颜面、手背、前臂的疣，称为

经委托人同意，房地产经纪机构可以按相关规定转让或与其他经纪机构合作完成经纪业务，()。

我国城市燃气管道根据输气压力一般分为()等燃气管道。

金融企业的资产按流动性进行分类，主要分为流动资产、、、__和其他资产。

评标委员会推荐的中标候选人应当限制在()人，并标明排列顺序。

在Excel2007工作簿中，有关移动和复制工作表的说法正确的是（）。

下列人物与研究成果对应错误的一项是：

三个测验项目A、B和C的P值分别是0．30、0．50和0．90，那么

Adultsaregettingsmarterabouthowsmartbabiesare.Notlongago,researcherslearnedthat4-day-oldcouldunderstand【B1】____

[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设

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设4阶方阵A满足A(E－C-1)TCT＝E，化简上述关系式并求A．

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已知4×5矩阵A=(α1,α2,α3,α4,α5)，其中α1,α2,α3,α4,α5均为四维列向量，α1,α2,α4线性无关，又设α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f（A）=f（B）=g(a)=g(b)=0，试证：在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使

设矩阵A=相似于对角矩阵．(1)求a的值；(2)求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．

求极限：

设f(x)在区间[0，1]上可微，当0≤x＜1时，恒有0＜f(1)＜f(x)，且f’(x)≠f(x)．讨论在(0，1)内存在唯一的点ξ，使得f(ξ)=∫0ξf(t)dt．

设y＝y(χ)，z＝z(χ)是由方程z＝χf(χ＋y)和F(χ，y，z)＝0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求_______．

曲线y2＝2χ在任意点处的曲率为_______．

若[x]表示不超过x的最大整数，则积分∫04[x]dx的值为()

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下列人物与研究成果对应错误的一项是：

三个测验项目A、B和C的P值分别是0．30、0．50和0．90，那么

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