[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设

admin2019-04-17 69

问题 [2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m³／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm²／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．

根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；

选项

答案液面的面积以πm²／min的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为π·2²+πt，而液面为圆，其面积可易求得为πφ²(y)，由此可导出t与φ(y)之间的关系式．液体体积可根据旋转体的体积公式用定积分求出，又已知t时刻的液体体积为3t，据此又可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可．设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为πφ²(y)=4π+πt，从而t=φ²(y)一4．

解析

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考研数学二

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[2003年] 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(见图1．3．5．10)，容器的底面圆的半径为2 m．根据设计要求，当以3 m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设

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