2. 考研
  3. 设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界。

设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界。

admin2019-01-15  60
问题 设函数f(x)在开区间(a，b)内可导，证明当导函数f’(x)在(a，b)内有界时，函数f(x)在(a，b)内也有界。
选项
答案设x0，x∈(a，b)，则f(x)在以x0，x为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件，因此f(x)-f(x0)=f’(ξ)(x- x0)，ξ∈(x0，x)。 因为f’(x)在(a，b)内有界，即存在N＞0，使︱f’(x)︱＜N，x∈(a，b)，所以 ︱f(x)︱=︱f(x)-f(x0)+f(x0)︱≤︱f(x)-f(x0)︱+︱f(x0)︱≤︱f’(ξ)(b-a)︱+︱f(x0)︱≤N(b-a)+︱f(x0)︱=M。 根据有界的定义f(x)在(a，b)内有界。
解析
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考研数学三

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