2. 职业资格
  3. 已知向量a，b，满足∣a∣=∣b∣=1，且，其中k＞0。 (1)试用k表示a·b，并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值； (2)当a·b取得最大值时，求实数λ，使∣a+λb∣的值最小，并对这一结论作出几何解释。

已知向量a，b，满足∣a∣=∣b∣=1，且，其中k＞0。 (1)试用k表示a·b，并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值； (2)当a·b取得最大值时，求实数λ，使∣a+λb∣的值最小，并对这一结论作出几何解释。

admin2015-08-13  98
问题 已知向量a，b，满足∣a∣=∣b∣=1，且，其中k＞0。
    (1)试用k表示a·b，并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值；
    (2)当a·b取得最大值时，求实数λ，使∣a+λb∣的值最小，并对这一结论作出几何解释。
选项
答案(1)∵∣a-kb∣=[*]∣ka+b∣ ∴(∣a-kb∣)2=3(∣ka+b∣)2 即a2-2kab+k2b2=3(k2a2+2kab+b2) ∴[*] ∵∣a∣=∣b∣=1 ∴a·b的最大值时[*] 即a·b为最大值[*]时a与b的夹角θ的值为[*] (2)由题意知：[*]，故∣a+λb∣2=a2+2λab+λ2b2=λ2-λ+1=[*] ∴当[*]时，∣a+λb∣的值最小。 如图所示：在边长为1的正三角形△ABC中，[*]，即D为线段AC的中点时，[*]。 (或：此时[*]，即当(a+λb)⊥b时，∣a+λb∣的值最小。) [*]
解析
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