设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

admin2015-07-22 79

问题设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(A^TA)=r(A)；(2)A^TAX=A^Tb一定有解．

选项

答案(1)设r(A)=r₁，r(A^TA)=r₂，由于AX=0的解都满足(A^TA)X=A^T(AX)=0，故 AX=0的基础解系(含n一r₁个无关解)含于A^TAX=0的某个基础解系(含n一r₂个无关解)之中，所以n-r₁≤n一r₂，故有r₂≤r₁，即 r(A^TA)≤r(A)． ① 又当A^TAX=0时(X为实向量)，必有X^TA^TAX=O，即(AX)^TAX=0，设AX=[b₁，b₂，…，b_m]^T，则(AX)^T(AX)=[*]=0，必有b₁=b₂=…=b_m=0，即AX=0，故方程组A^TAX=0的解必满足方程组AX=0，从而有 n一r(A^TA)≤n一r(A)， r(A)≤r(A^TA)． ② 由①，②得证r(A)=r(A^TA)． (2)A^TAX=A^Tb有解 [*](A^TA)=r(A^TA|A^Tb)．由(1)知r(A)=r(A^T)-r(A^TA)，将A^T，A^TA=B以列分块，且B=A^TA的每个列向量均可由A^T 的列向量线性表出，故A^T和B=A^TA的列向量组是等价向量组，A^Tb是A^T的列向量组的某个线性组合，从而r(A^T)=r(A^T|A^Tb)=r(A^TA|A^Tb)，故 r(A^TA)=r(A^T)=r(A^T| A^Tb)=r(A^TA |A^Tb)，故(A^TA)X=A^Tb有解．

解析

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考研数学三

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设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

考研数学三

据新华社2021年3月31日报道，“十四五”规划和2035年远景目标纲要提出。发展壮大城市群和都市圈，分类引导大中小城市发展方向和建设重点，形成()的城镇化空间格局。

创新、协调、()的新发展理念是在深刻总结国内外发展经验教训、分析国内外发展大势的基础上形成的，也是针对我国发展中的突出矛盾和问题提出来的。

2022年国务院政府工作报告指出，我国经济长期向好的基本面不会改变，持续发展具有多方面有利条件，特别是()，我们还积累了应对重大风险挑战的丰富经验。中国经济一定能顶住新的下行压力，必将行稳致远。

国家主席习近平2021年10月13日同德国总理默克尔举行视频会晤。他强调，中国和德国自身发展得好，对世界经济的贡献也更大。这证明，国与国之间完全可以避免()，实现互利共赢，这是中德关系应该牢牢把握的主基调。

利用函数的凹凸性，证明下列不等式：

用比较审敛法判别下列级数的收敛性：

根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和：

用比值审敛法判别下列级数的收敛性：

利用函数的幂级数展开式求下列积分近似值：

患者，女，39岁。近1个月来胃脘隐隐灼痛，似饥而不欲食，口燥咽干，口渴烦热，大便干结，舌红少津，脉细数。中医辨证属于

(2010年)在实验室中，根据达西定律测定某种土壤的渗透系数，将土样装在直径d=30cm的圆筒中，在90cm的水头作用下，8h的渗水量为100L(升)，两测压管的距离为40cm，该土壤的渗透系数为()m／d。

中国证监会在调查操纵证券市场、内幕交易等重大证券违法行为时，可以限制被调查事件当事人的证券买卖，但限制的期限不得超过()个交易日。

在证券公司自营业务内部控制机制中，建立完备的业绩考核和激励制度，应遵循()原则，对自营业务人员的投资能力、业绩水平等情况进行评价。

李某饲养的一只狗在甲公司施工的道路上追咬孙某饲养的一只狗，而在施工道路旁边行走的游客王某在避让中失足掉入施工形成的坑里，受伤严重。下列说法正确的是()。

AMGEN,theworld’sbiggestbiotechnologycompany,madeitsfortunefromadrugthatfortifiesthebloodofpatientswhoareunde

Access提供了两种字段数据类型保存文件或文本和数字组合的数据，这两种数据类型是文本型和【】。

ThetwoboysinChicagowere.ThyboysinJonesboroandChicagoapparentlylackedasenseof.

TheGesturalTheoryofLanguageTheinitiallanguageinhominidswasgestural,andcommunicationusingthehandswasactual

Surfingisathrillinganddangerousactivityinwhichapersonbalancesonaboardandridesthesurfaceofabig,crashocean

设A是m×n阶实矩阵，证明：(1)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb一定有解．

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据新华社2021年3月31日报道，“十四五”规划和2035年远景目标纲要提出。发展壮大城市群和都市圈，分类引导大中小城市发展方向和建设重点，形成()的城镇化空间格局。

创新、协调、()的新发展理念是在深刻总结国内外发展经验教训、分析国内外发展大势的基础上形成的，也是针对我国发展中的突出矛盾和问题提出来的。

2022年国务院政府工作报告指出，我国经济长期向好的基本面不会改变，持续发展具有多方面有利条件，特别是()，我们还积累了应对重大风险挑战的丰富经验。中国经济一定能顶住新的下行压力，必将行稳致远。

国家主席习近平2021年10月13日同德国总理默克尔举行视频会晤。他强调，中国和德国自身发展得好，对世界经济的贡献也更大。这证明，国与国之间完全可以避免()，实现互利共赢，这是中德关系应该牢牢把握的主基调。

利用函数的凹凸性，证明下列不等式：

用比较审敛法判别下列级数的收敛性：

根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性，并求出其中收敛级数的和：

用比值审敛法判别下列级数的收敛性：

利用函数的幂级数展开式求下列积分近似值：

患者，女，39岁。近1个月来胃脘隐隐灼痛，似饥而不欲食，口燥咽干，口渴烦热，大便干结，舌红少津，脉细数。中医辨证属于

(2010年)在实验室中，根据达西定律测定某种土壤的渗透系数，将土样装在直径d=30cm的圆筒中，在90cm的水头作用下，8h的渗水量为100L(升)，两测压管的距离为40cm，该土壤的渗透系数为()m／d。

中国证监会在调查操纵证券市场、内幕交易等重大证券违法行为时，可以限制被调查事件当事人的证券买卖，但限制的期限不得超过()个交易日。

在证券公司自营业务内部控制机制中，建立完备的业绩考核和激励制度，应遵循()原则，对自营业务人员的投资能力、业绩水平等情况进行评价。

李某饲养的一只狗在甲公司施工的道路上追咬孙某饲养的一只狗，而在施工道路旁边行走的游客王某在避让中失足掉入施工形成的坑里，受伤严重。下列说法正确的是()。

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Access提供了两种字段数据类型保存文件或文本和数字组合的数据，这两种数据类型是文本型和【】。

ThetwoboysinChicagowere______.ThyboysinJonesboroandChicagoapparentlylackedasenseof______.

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