2. 考研
  3. 设函数f(χ)在(0，＋∞)内可导，f(χ)＞0，，且 (Ⅰ)求f(χ)； (Ⅱ)定义数列χn＝∫0nπf(t)dt，证明数列{χn}收敛．

设函数f(χ)在(0，＋∞)内可导，f(χ)＞0，，且 (Ⅰ)求f(χ)； (Ⅱ)定义数列χn＝∫0nπf(t)dt，证明数列{χn}收敛．

admin2017-11-21  71
问题 设函数f(χ)在(0，＋∞)内可导，f(χ)＞0，，且

    (Ⅰ)求f(χ)；
    (Ⅱ)定义数列χn＝∫0nπf(t)dt，证明数列{χn}收敛．
选项
答案(Ⅰ)题设中等式左端的极限为1∞型，先转化成 [*] 由导数的定义及复合函数求导法得 [*] 积分得lnf(χ)＝[*]＝lnsin2χ－lnχ2＋C1，即 f(χ)＝[*]，χ∈(0，＋∞)． 由[*]得C＝1． 因此f(χ)＝[*]． (Ⅱ)χn＝[*] 记F(χ)＝[*]在(0，＋∞)[*]χn＝F(nπ)是单调上升的．又 [*] 于是χn有界． 因此{χn}单调有界，{χn}必收敛．
解析
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考研数学二

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