设A为三阶实对称矩阵，，矩阵A有一个二重特征值且rA=2。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)用正交变换法化二次型XTAX为标准形。

admin2021-01-28 86

问题设A为三阶实对称矩阵，

，矩阵A有一个二重特征值且rA=2。
(Ⅰ)求常数a，b的值；
(Ⅱ)用正交变换法化二次型X^TAX为标准形。

选项

答案(Ⅰ) [*] 因为A可对角化且rA=2，所以A有两个非零特征值，故λ₃=2，令λ₃=2对应的特征向量为α₃=[*]， [*] (Ⅱ)[*] 令Q=[*]，则Q为正交矩阵，在正交变换X=QY下，令X=QY，则X^TAX=Y^T(Q^TAQ)Y=2y₂²+2y₃²。

解析

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