设xn=a0+a1q+…+anqn，｜ak｜＜M，k=0,1，2，…，且｜q｜＜1，问{xn}是否收敛?

admin2022-10-31 8

问题设x_n=a₀+a₁q+…+a_nqⁿ，｜a_k｜＜M，k=0,1，2，…，且｜q｜＜1，问{x_n}是否收敛?

选项

答案对任意的n，p∈N₊，有｜x_n+p-x_n｜=｜a_n+1qⁿ⁺¹+…+a_n+p+q^n+p｜＜M(｜q｜ⁿ⁺¹+…+｜q｜^n+p)＜M·[*]=M₁｜q｜ⁿ⁺¹，其中M₁=[*]，由｜q｜＜1知[*]｜q｜ⁿ⁺¹)=0，故对[*]ε＞0，[*]N∈N₊，使得当n＞N时｜q｜ⁿ⁺¹＜ε／M₁，从而当n＞N时，对[*]p∈N₊．有｜x_n+p-x_n｜＜M₁｜q｜ⁿ⁺¹＜ε．依Cauchy收敛定理，{x_n}收敛．

解析

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