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  3. 曲线y＝(x—1)2(x－3)2的拐点个数为

曲线y＝(x—1)2(x－3)2的拐点个数为

admin2014-05-19  77
问题 曲线y＝(x—1)2(x－3)2的拐点个数为
选项 A、0．   
B、1
C、2
D、3
答案C
解析 [分析]  可能的拐点是二阶导数为零或二阶导数不存在的点，本题二阶导数均存在，因此只需求出二阶导数为零的点，再根据二阶导数存零点左、右两侧(或三阶导数在零点)的符号进行判断即可．
    [详解1]  因为
    y’＝4(x－1)(x－2)(x－3)，
    y"＝4(3x2－12x＋11)，
    y’’’＝24(x－2)．
    显然y"＝0有两个零点，且在此两点处三阶导数y’’’≠0，因此曲线有两个拐点．故应选(C)．
    [详解2]  由于所给函数光滑、特殊，因此不必计算二阶导数即可判断出拐点的个数．
首先，y是4次多项式，其曲线最多拐3个“弯儿”，因此拐点最多有2个．其次，x＝1，x＝3是极小点，在两点之间必有唯一的极大点，设为x0．又，y的大致图形如图1—2—5所示．于是在(1，x0)和(x0，3)内各有一个拐点．故应选(C)．

    [评注]  本题从一阶导函数有三个零点即知y"有两个零点，且显然不为2，故三阶导数一定非零，从而知曲线有两个拐点．
    一般地，若f"(x0)＝0，y’’’(x0)≠0，则点(x0，f(x0))一定是曲线y＝f(x)的拐点，事实上，由，知f’’’(x0)在x＝x0的左、右两侧变号，即曲线的凹向改变，因此点(x0，f(x0))为拐点．
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考研数学二

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