2. 考研
  3. 设有曲面平面∏：2x+2y+z+5=0． (I)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程； (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离．

设有曲面平面∏：2x+2y+z+5=0． (I)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程； (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离．

admin2020-03-05  41
问题 设有曲面平面∏：2x+2y+z+5=0．
(I)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程；  (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离．
选项
答案(I)先写出曲面S上任意点(x0，y0，z0)处的切平面方程． 记S的方程为F(x，y，z)=0，F(x，y，z)=[*]，则S上点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为 Fx’(M0)(x一x0)+Fy’(M0)(y一y0)+Fz’(M0)(z—z0)=0， 其中Fx’(M0)=x0， Fy’(M0)=2y0， Fz’(M0)=[*] 该切平面与平面∏平行,它们的法向量共线即成比例[*]且 2x0+2y0+z0+5≠0． 因为M0(x0，y0，z0)在S上，所以它满足方程 [*] 即4λ2=1．[*]显然，(x0，y0，z0)不在平面∏上． 相应的切平面方程是 [*] 这就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程． (Ⅱ)椭球面S是夹在上述两个切平面之间，故曲面S上切点到平面∏的距离最短或最长 [*] 因此，曲面S到平面∏的最短距离为[*]
解析
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考研数学一

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