2. 考研
  3. 设直线y＝ax与抛物线y＝x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x＝1所围成的图形 面积为S2，且a＜1． (1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

设直线y＝ax与抛物线y＝x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x＝1所围成的图形 面积为S2，且a＜1． (1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

admin2020-03-10  110
问题 设直线y＝ax与抛物线y＝x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x＝1所围成的图形
面积为S2，且a＜1．
(1)确定a，使S1＋S2达到最小，并求出最小值；
(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
选项
答案(1)直线y＝ax与抛物线y＝x2的交点为(0，0)，(a，a2)． 当0＜a＜1时，S＝S1＋S2＝∫0a(ax－x2)dx＋∫a1(x2)dx＝[*] 令S’＝a2－[*]时，S1＋S2取到最小 值，此时最小值为[*]． 当a≤0时，S＝∫a0(ax－x2)dx＋∫01(x2－ax)dx＝[*]， 因为S’＝[*](a2＋1)＜0，所以S(a)单调减少，故a＝0时S1＋S2取最小值，而S(0) [*]时，S1＋S2最小． (2)旋转体的体积为Vx＝[*]．
解析
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考研数学三

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