设f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex一f(x)，且f(0)=0，g(0)=2．求积分值

admin2017-07-26 41

问题设f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2e^x一f(x)，且f(0)=0，g(0)=2．
求积分值

选项

答案由条件f’(x)=g(x)，得f"(x)=g’(x)=2e^x一f(x)，即求解 [*] 齐次微分方程：特征方程为λ²+1=0，λ=±i，通解为 [*]=c₁cosx+c₂sinx．其中c₁，c₂为任意常数．非齐次微分方程：因为r=1不是特征方程的解，故设特解f^*(x)=Ae^x，则得A=1．于是，通解为 f(x)=c₁cosx+c₂sinx+e^x．将条件f(0)=0，g(0)=2代入到通解中，得特解f(x)=sinx—cosx+e^x，其中c₁=一1，c₂=1．从而 [*]

解析

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考研数学三

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