设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加，证明：(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)bx．

admin2015-08-14 37

问题设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加，证明：(a+b)∫_a^bf(x)dx＜2∫_a^bxf(x)bx．

选项

答案令F(t)=(a+t)∫_a^tdx一2∫_a^txf(x)dx，则 F’(t)=∫_a^tf(x)dx+(a+t)f(t)一2tf(t) =∫_a^tf(x)dx一(t-a)f(t)=∫_a^tf(x)dx-∫_a^tf(t)dx =∫_a^t[f(x)—f(t)]dx．因为a≤x≤t，且f(x)在[a，b]上严格单调增加，所以f(x)一f(t)≤0，于是有 F’(t)=∫_a^t[f(x)一f(t)]dx≤0，即F(t)单调递减，又F(a)=0，所以F(b)＜0，即 (a+b)∫_a^bf(x)dx一2∫_a^bxf(x)dx＜0，即(a+b)∫_a^bf(x)dx＜2∫_a^bxf(x)dx．

解析

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