已知y1=xex+e2x和y2=xex+e-x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )

admin2018-11-22 45

问题已知y₁=xe^x+e^2x和y₂=xe^x+e^-x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )

选项 A、y’’-2y’+y=e^2x
B、y’’-y’-2y=xe^x
C、y’’-y’-2y=e^x-2xe^x
D、y’’-y=e^2x

答案C

解析非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由y₁-y₂=e^2x-e^-x及解的结构定理知对应齐次方程通解为y=C₁e^2x+C₂e^-x，故特征根r₁=2，r₂=-1．对应齐次线性方程为
y’’-y’-2y=0
再由特解y*=xe^x知非齐次项f(x)=y*’’-y*’-2y*=e^x-2xe^x，于是所求方程为
y’’-y’-2y=e^x-2xe^x

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