设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，求f(t)．

admin2017-10-23 61

问题设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫₀^tf(s)sinsds，求f(t)．

选项

答案因f(t)连续，故∫₀^tf(s)sinsds可导，从而f(t)可导．于是，将题设等式两边求导并在题设等式中令t=0，可得 [*] 这是一阶线性微分方程的初值问题．将方程两边同乘μ=e^—∫sintdt=e^cost可得 [e^costf(t)]’=一4sintcoste^cost．积分得 e^costf(t)=4∫costd(e^cost)=4(cost一1)e^cost+C．由f(0)=1得C=e．因此所求函数f(t)=e^1—cost+4(cost一1)．

解析

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考研数学三

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求
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设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)一f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．
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