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设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞),f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex成立,且fˊ(0)存在等于a,a≠0,则f(x)=_________.
设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞),f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex成立,且fˊ(0)存在等于a,a≠0,则f(x)=_________.
admin
2016-09-13
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问题
设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞),f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
成立,且fˊ(0)存在等于a,a≠0,则f(x)=_________.
选项
答案
axe
x
解析
由fˊ(0)存在,设法去证对一切x,fˊ(x)存在,并求出f(x).
将y=0代入f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
,得
f(x)=f(x)+f(0)e
x
,
所以f(0)=0.
令△x→0,得
fˊ(x)=f(x)+e
x
fˊ(0)=f(x)+ae
x
,
所以fˊ(x)存在.解此一阶微分方程,得
f(x)=e
x
(∫ae
x
.e
-x
dx+C)=e
x
(ax+C).
因f(0)=0,所以C=0,从而得f(x)==axe
x
,如上所填.
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/X3T4777K
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考研数学三
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