设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(－∞，+∞)，y∈(－∞，+∞)，f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex成立，且fˊ(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=_________．

admin2016-09-13 52

问题设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(－∞，+∞)，y∈(－∞，+∞)，f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x成立，且fˊ(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=_________．

选项

答案axe^x

解析由fˊ(0)存在，设法去证对一切x，fˊ(x)存在，并求出f(x)．
将y=0代入f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x，得
f(x)=f(x)+f(0)e^x，
所以f(0)=0．

令△x→0，得
fˊ(x)=f(x)+e^xfˊ(0)=f(x)+ae^x，
所以fˊ(x)存在．解此一阶微分方程，得
f(x)=e^x(∫ae^x.e^－xdx+C)=e^x(ax+C)．
因f(0)=0，所以C=0，从而得f(x)==axe^x，如上所填．

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