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  3. 设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f＇(x)，则设f＇(x)存在)，则以下结论中不正确的是 ( )

设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f＇(x)，则设f＇(x)存在)，则以下结论中不正确的是 ( )

admin2019-01-24  62
问题 设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f＇(x)，则设f＇(x)存在)，则以下结论中不正确的是    (    )
选项 A、f＇(x)必以T为周期．
B、 必以T为周期．
C、 必以T为周期．
D、 必以T为周期．
答案B
解析 (B)的反例：f(x)＝sin2x，以π为周期，但

不是周期函数，所以(B)不正确，选(B)．
事实上，设f(x)有周期T，则有周期T的充要条件是，．证明如下：

可见F(x＋T)＝F(x)的充要条件是．证毕．
以下说明(A)，(C)，(D)均正确．
由f(x＋T)＝f(x)及f(x)可导，有f＇(x＋T)＝f＇(x)．所以f＇(x)有周期T，(A)正确．
(C)中的被积函数是￡的周期函数，且周期为T，由以上证明，知以T为周期的充要条件是

而该积分中的被积函数f(t)－f(－t)是关于t的奇函数，

成立，所以(C)正确．
(D)中令，有

所以F(x)以T为周期，(D)正确．
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