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  3. [2016年] 已知矩阵A=. 求A99；

[2016年] 已知矩阵A=. 求A99；

admin2021-01-19  106
问题 [2016年]  已知矩阵A=.
求A99；
选项
答案先证A与对角矩阵相似，则可利用命题2．5．5．2(1)求出A99．由∣λE—A∣=[*]=λ(λ+1)(λ+2)=0知，A有3个不相等的特征值，由命题2．5．3．2(1)知A可相似对角化．下面求可逆矩阵P使 P-1AP=Λ=diag(0，一1，一2)． 为此求出A的3个线性无关的特征向量． 当λ1=0时，解(0E—A)X=0，即AX=0．由 [*] 及基础解系的简便求法得特征向量a=(3／2，1，1)T．取特征向量a1=[3，2，2]T． 当λ2=一1时，解(一E—A)X=0．由 一E—A=[*] 及基础解系的简便求法即得特征向量b2=[1，1，0]T． 当λ3=一2时，解(一2E—A)X=0．由 一2E—A=[*] 及基础解系的简便求法即得对应于λ3=一2的特征向量c=[1／2，1，0]T，取c=[1，2，0]T． 令P=[a1，b2，c3]．因它们属于不同特征值的特征向量，故a1，b2，c3线性无关，P为可逆矩阵，且P-1AP=Λ=diag(0，一1，一2)，即A=PΛP-1，则 [*]
解析
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考研数学二

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