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设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵。
设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵。
admin
2021-01-25
105
问题
设A为m×n实矩阵,E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+A
T
A,试证:当λ>0时,矩阵B为正定矩阵。
选项
答案
方法一:B
T
=(λE+A
T
A)
T
=λE
T
+(A
T
A)
T
=λE+A
T
(A
T
)
T
=λE+A
T
A=B,根据实对称矩阵的定义,故B是实对称矩阵。对任意的非零向量x,x
T
A
T
=(Ax)
T
,有 x
T
(λE+A
T
A)x=x
T
(λE)x+x
T
(A
T
A)x=λx
T
x+x
T
A
T
Ax=λx
T
x+(Ax)
T
Ax, 因x≠0,故有x
T
x>0。(设x=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
≠0,则a
i
,i=1,2,…,n中至少有一个不为零,则a
i
2
,i=1,2,…,n中至少有一个大于零,故x
T
x=[*]a
2
>0)。 (Ax)
T
Ax≥0(设Ax=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
,(Ax)
T
Ax=[*]b
i
2
≥0, 因为Ax有可能为零,即有可能b
i
=0,i=1,2,…,n,故这里可能取等号。) 故当λ>0时,λx
T
x>0。对任意的x≠0,均有 x
T
Bx=x
T
(λE+A
T
A)x=λx
T
x+(Ax)
T
Ax>0, 由正定矩阵的定义,B是正定矩阵。 方法二:B正定→B的全部特征值大于零。设B有特征值μ,对应的特征向量为ξ,由特征值和特征向量的定义,Bξ=μξ,将B=λE+A
T
A代入,得 (λE+A
T
A)ξ=μξ,其中ξ≠0, 上式两边左乘ξ
T
,得 ξ
T
(λE+A
T
A)ξ=λξ
T
ξ+ξ
T
A
T
Ag=λξ
T
ξ+(Aξ)
T
(Aξ)=μξ
T
ξ, 变形得 (Aξ)
T
(Aξ)=(μ—λ)ξ
T
ξ。 因ξ≠0,设ξ=(c
1
,c
2
,…,c
n
)
T
≠0,则c
i
,i=1,2,…,n中至少有一个不为零,则c
i
2
,i=1,2,…,n中至少有一个大于零,故 ξ
T
ξ=[*]c
i
2
>0,(Aξ)
T
(Aξ)≥0(设Aξ=(d
1
,d
2
,…,d
n
)
T
,(Aξ)
T
Aξ=[*]d
i
2
≥0, 因为Aξ有可能为零,即有可能di=0,i=1,2,…,n,故这里可能取等号。)故 [*] 所以,当λ>0时,有μ≥λ>0,故知N的特征值μ全部大于零,B是正定矩阵。
解析
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考研数学三
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