n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

admin2019-03-23 104

问题 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )

选项 A、二次型x^TAx的负惯性指数为零
B、存在可逆矩阵P使P^—1AP=E。
C、存在n阶矩阵C使A=C^TC
D、A的伴随矩阵A^*与E合同。

答案D

解析 A选项是必要不充分条件。这是因为R(f)=p+q≤n。
当q=0时，有R(f)=p≤n。此时有可能p＜n，故二次型x^TAx不一定是正定二次型。因此矩阵A不一定是正定矩阵。例如f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₃²。
B选项是充分不必要条件。这是因为P^—1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值都是1属于不必要条件。
C选项中的矩阵C没有可逆的条件，因此对于A=C^TC不能说A与E合同，也就没有A是正定矩阵的结论。例如

显然矩阵不正定。
关于选项D，由于
A正定

A^*与E合同，
所以D选项是充分必要条件，故选D。

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考研数学二

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设A与B分别是m，n阶矩阵，证明

(1)证明两个上三角矩阵A和B的乘积AB还是上三角矩阵；并且AB对角线元素就是A和B对应对角线元素的乘积．(2)证明上三角矩阵A的方幂Ak与多项式f(A)也都是上三角矩阵；并且Ak的对角线元素为a11k，a22k，…，annk；f(A)的对角线元素为f(

已知向量组有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表出，求a，b的值．

n维向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αr可以用n维向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs线性表示．

设α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关，其中α1，α2，…，αs是齐次方程组AX=0的基础解系．证明Aβ1，Aβ2，…，Aβt线性无关．

证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．

设线性方程组为(1)讨论a1，a2，a3，a4取值对解的情况的影响．(2)设a1=a3=k，a2=a4=－k(k≠0)，并且(－1，1，1)T和(1，1，－1)T都是解，求此方程组的通解．

设f(x)在[a，b]上可导f’(x)+[f(x)]2一∫axf(t)dt=0，且∫a-bf(t)dt=0.证明：∫axf(t)dt在(a，b)内恒为零。

简述对销贸易的具体形式。

组织之间氨的主要运输形式有：

在软土地基上建斜坡结构防波堤，堤心抛石有挤淤要求，抛石顺序应()。

出口自行车在办理报检手续时，须提供出口质量许可证。(　　)

辛亥革命10周年之际，梁启超撰文写道，“辛亥革命有什么意义呢?简单说……第一，觉得凡不是中国人都没有权来管中国人的事；第二，觉得凡是中国人都有权来管中国人的事”。这反映出他认为辛亥革命()。

近日，曾经风靡一时的呼拉圈又走进群众的业余生活，但有专家以为，转呼拉圈运动量不大，哪项如果为真，最能支持上述观点?

去年1月份，该市进出口贸易总值为()。今年前两个月该市对外出口超亿美元的六个国家和地区中，与去年同期相比，出口额增长最多的是()。

【立奥三世(拜占庭)】

(中国人大2012)国内只流通银行券且不能兑换黄金，国际储备除黄金还有一定比重外汇，外汇在国外才可兑换黄金，黄金是最后的支付手段，这是()制度的特点。

A、Whentheairplaneslowsdownveryquickly.B、Whentheairplaneismakingasharpturn.C、Whenthepilotshaveaheartattack.

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