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设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且是周期为T的周期函数,证明: ∫αα+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且是周期为T的周期函数,证明: ∫αα+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx
admin
2022-09-05
110
问题
设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且是周期为T的周期函数,证明:
∫
α
α+T
f(x)dx=∫
0
T
f(x)dx
选项
答案
∫
α
α+T
f(x)dx=∫
α
0
f(x)dx+∫
0
T
f(x)dx+∫
T
α+T
f(x)dx=I
1
+I
2
+I
3
对积分I
3
,作换元x=t+T,则当x=T,α+T时,t依次为0,α,又f(t+T)=f(t),所以 I
3
=∫
T
α+T
f(x)dx=∫
0
α
f(t)dt=∫
0
α
f(x)dx 而 I
1
=∫
α
0
f(x)dx=-∫
0
α
f(x)dx 故∫
α
α+T
f(x)dx=-∫
0
α
f(x)dx+∫
0
T
f(x)dx+∫
0
α
f(x)dx=∫
0
T
f(x)dx
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/W0R4777K
0
考研数学三
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