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  3. 设f(x)在(－∞,+∞)上连续,且是周期为T的周期函数,证明： ∫αα+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx

设f(x)在(－∞,+∞)上连续,且是周期为T的周期函数,证明： ∫αα+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx

admin2022-09-05  115
问题 设f(x)在(－∞,+∞)上连续,且是周期为T的周期函数,证明：
∫αα+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx
选项
答案∫αα+Tf(x)dx=∫α0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫Tα+Tf(x)dx=I1+I2+I3 对积分I3，作换元x=t+T,则当x=T,α+T时，t依次为0，α，又f(t+T)=f(t)，所以 I3=∫Tα+Tf(x)dx=∫0αf(t)dt=∫0αf(x)dx 而 I1=∫α0f(x)dx=－∫0αf(x)dx 故∫αα+Tf(x)dx=－∫0αf(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫0αf(x)dx=∫0Tf(x)dx
解析
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考研数学三

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