已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．

admin2017-07-26 60

问题已知A，B都是n阶正定矩阵，证明：AB是n阶正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换．

选项

答案必要性．若AB正定，则AB是对称的，即 AB=(AB)^T=B^TA^T．由于A，B均正定，知A^T=A，B^T=B，故 AB=BA．即A与B可交换．充分性．若AB=BA，则(AB)^T=B^TA^T=BA一AB，知AB是对称矩阵．再由A，B均正定，知存在可逆矩阵P和Q，使得A=P^TP，B=Q^TQ．于是 Q(AB)Q^—1=Q(P^TP)(Q^TQ)Q^—1=(QP^T)(PQ^T)=(PQ^T)^T(PQ^T)．即AB相似于矩阵(PQ^T)^T(PQ^T)．因为PQ^T可逆，知(PQ^T)^T(PQ^T)正定．因此，AB的特征值全大于零，故AB正定．

解析

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