设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

admin2022-11-04 102

问题设A为n阶矩阵，α₁，α₂，α₃为n维列向量，其中α₁≠0，且Aα₁=α₁，Aα₂=α₁+α₂，Aα₃=α₂+α₃，证明：α₁，α₂，α₃线性无关．

选项

答案由Aα₁=α₁得(A-E)α₁=0；由Aα₂=α₁+α₂得(A-E)α₂=α₁；由Aα₃=α₂+α₃得(A-E)α₃=α₂，令k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， (1)k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0两边左乘A-E得k₂α₁+k₃α₂=0，k₂α₁+k₃α₂=0两边左乘A-E得k₃α₁=0，因为α₁≠0，所以k₃=0，代入得k₁=0，k₁=0，故α₁，α₂，α₃线性无关．

解析

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考研数学三

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