2. 考研
  3. 给出如下5个命题： (1)若不恒为常数的函数f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且x0≠0是f(x)的极大值点，则－x0必是－f(－x)的极大值点； (2)设函数f(x)在[a，+∞)上连续，fˊˊ(x)在(a，+∞)内存在且大于零，则F(x)=在(a，+∞

给出如下5个命题： (1)若不恒为常数的函数f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且x0≠0是f(x)的极大值点，则－x0必是－f(－x)的极大值点； (2)设函数f(x)在[a，+∞)上连续，fˊˊ(x)在(a，+∞)内存在且大于零，则F(x)=在(a，+∞

admin2019-03-11  73
问题 给出如下5个命题：
(1)若不恒为常数的函数f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且x0≠0是f(x)的极大值点，则－x0必是－f(－x)的极大值点；
(2)设函数f(x)在[a，+∞)上连续，fˊˊ(x)在(a，+∞)内存在且大于零，则F(x)=在(a，+∞)内单调增加；
(3)若函数f(x)对一切x都满足xfˊˊ(x)+3x[fˊ(x)]2=1－e－x，且fˊ(x0)=0，x0≠0，则f(x0)是f(x)的极大值；
(4)设函数y=y(x)由方程2y3－2y2+2xy－x2=1所确定，则y=y(x)的驻点必定是它的极小值点；
(5)设函数f(x)=xex，则它的n阶导数f(n)(x)在点x0=－(n+1)处取得极小值．正确命题的个数为    (    )
选项 A、2
B、3
C、4
D、5
答案B
解析 对上述5个命题一一论证．
    对于(1)，只要注意到：若f(x)在点x0取到极大值，则－f(x)必在点x0处取到极小值，故该结论错误；
    对于(2)，对任意x＞a，由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，x)使f(x)－f(a)=fˊ(ξ)(x－a)，
则
    由fˊˊ(x)＞0知，fˊ(x)在(a，+∞)内单调增加，因此，对任意的x与ξ，a＜ξ＜x，有fˊ(x)＞fˊ(ξ)，从而由上式得Fˊ(x)＞0，所以函数F(x)在(a，+∞)内单调增加，该结论正确；
    对于(3)，因fˊ(x0)=0，故所给定的方程为fˊˊ(x0)=，显然，不论x0＞0，还是x0＜0，都有fˊˊ(x0)＞0，于是由fˊ(x0)=0与fˊˊ(x0)＞0得f(x0)是f(x)的极小值，故该结论错误；
    对于(4)，对给定的方程两边求导，得
    3y2yˊ－2yyˊ+xyˊ+y－x=0，    ①
再求导，得
    (3y2－2y+x)yˊˊ+(6y－2)(yˊ)2+2yˊ=1．    ②
    令yˊ=0，则由式①得y=x，再将此代入原方程有2x3－x2=1，从而得y=y(x)的唯一驻点x0=1，因x0=1时y0=1，把它们代入式②得yˊˊ｜(1，1)＞0，所以唯一驻点x0=1是y=y(x)的极小值点，该结论正确；
    对于(5)，因为是求n阶导数f(n)(x)的极值问题，故考虑函数f(x)=xex的n+1阶导数f(n+1)(x)，由高阶导数的莱布尼茨公式得
    f(n)(x)=x(ex)(n)+n(ex)(n－1)=(x+n)ex，
    f(n+1)(x)=[x+(n+1)ex；f(n+2)(x)=[x+(n+2)]ex．
    令f(n+1)(x)=0，得f(n)(x)的唯一驻点x0=－(n+1)；又因f(n+2)(x0)=e－(n+1)＞0，故点x0=－(n+1)是n阶导数f(n)(x)的极小值点，且其极小值为f(n)(x0)=－e－(n+1)，该结论正确．
    故正确命题一共3个，答案选择(B)．
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