一项“过关游戏”规则规定：在第n关抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。连过三关的概率是多少?(注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体，抛掷骰子落地静止后，向上的点数为出现点数)

admin2022-08-12 80

问题一项“过关游戏”规则规定：在第n关抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2ⁿ，则算过关。
连过三关的概率是多少?(注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体，抛掷骰子落地静止后，向上的点数为出现点数)

选项

答案连过三关要求第一关时投掷1次的点数大于2，第二次时投掷两次的点数和大于4，第三次时投掷三次的点数和大于8。第一次过关的概率为4/6=2/3。第二次过关的基本事件有6²种，不能过关的基本事件个数为不等式x+y≤4的正整数解的个数，等价于不定方程x+y=a(a=2，3，4)的正整数解的个数。用隔板法求解，用a=4做一个示范，将4个“1”排成一列，中间有3个空挡，在3个空挡中插入一块隔板(C₃¹)，这样就把4个“1”分成“两堆”，如1／1 1 1，就表示x=1，y=3。这样x+y=4共有C₃¹个正整数解。所以不等式x+y≤4的正整数解的个数为C₁¹+C₂¹+C₃¹=C₄²，共6种。所以过关的概率为1-6/6²=5/6。第三次过关的基本事件有6³种，不能过关的基本事件个数为不等式x+y+z≤8的正整数解的个数，有C₂²+C₃²+C₄²+C₅²+C₆²+C₇²=C₈³(个)，共56种。所以过关的概率为1-56/6²=20/27。所以连过三关的概率为2/3×5/6×20/27=100/243。

解析

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