2. 考研
  3. 设平均收益函数和总成本函数分别为 AR=a—bQ，C=Q3一7Q2+100Q+50， 其中常数a＞0，b＞0待定．已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性Ep=一时总利润最大．求总利润最大时的产量，并确定a，b的值．

设平均收益函数和总成本函数分别为 AR=a—bQ，C=Q3一7Q2+100Q+50， 其中常数a＞0，b＞0待定．已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性Ep=一时总利润最大．求总利润最大时的产量，并确定a，b的值．

admin2017-10-23  67
问题 设平均收益函数和总成本函数分别为
    AR=a—bQ，C=Q3一7Q2+100Q+50，
其中常数a＞0，b＞0待定．已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性Ep=一时总利润最大．求总利润最大时的产量，并确定a，b的值．
选项
答案总利润函数 L(Q)=R一C=Q．AR—C=一[*]Q3+(7一b)Q2+(a一100)Q一50，从而使总利润最大的产量Q及相应的a，b应满足L’(Q)=0，MR=67及Ep=一[*]，即 [*] 由此得到两组可能的解：a=111，b=[*]，Q=3与a=111，b=2，Q=11． 把第一组数据中的a，b代入得总利润函数 L=一[*]Q2+11Q一50， 虽然L’(3)=0，L"(3)＜0，即L(3)确实是L(x)的最大值，但L(3)＜0，不符合实际，故应舍去． 把第二组数据中的a，b代入得总利润函数 L=一[*]Q3+5Q2+11Q一50， 也有L’(11)=0，L"(11)＜0，即L(11)=232[*]是L(x)的最大值，故a=111，b=2是所求常数的值，使利润最大的产量Q=11．
解析 平均收益函数AR=a一bQ其实就是价格P与销售量Q的关系式，由此可得总收益函数
    R=Q．AR=aQ一bQ2，
需求函数(它是P=a一bQ的反函数)Q=(a一P)，进而可得需求价格弹性

利用以上结果不难解决本题．
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考研数学三

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