2. 考研
  3. 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1－2X2)2+b(3X3－4X4)2，则当a=______，b=________时，统计量X服从χ2分布的自由度为__________．

设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1－2X2)2+b(3X3－4X4)2，则当a=______，b=________时，统计量X服从χ2分布的自由度为__________．

admin2019-05-08  105
问题 设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1－2X2)2+b(3X3－4X4)2，则当a=______，b=________时，统计量X服从χ2分布的自由度为__________．
选项
答案a=1／20；b=1／100；2
解析 解一  因X1，X2，X3，X4为正态总体的简单随机样本，故X1，X2，X3，X4相互独立，且X1－2X2与3X3－4X4都服从正态分布：
    X1－2X2～N(0，5×22)=N(0，20)，3X3－4X4～N(0，100)，
            
    因与独立，由命题3．6．1．1(2)知，
            
即
  
所以a=1／20，b=1／100，且X服从自由度为2的χ2分布．
    解二  由解一知X1－2X2～N(0，20)，3X3－4X4～N(0，100)，故
            
要使则20a=1，故
要使则100b=1，故
    因相互独立，故χ2(1)+χ2(1)=χ2(2)，所以自由度为2．
    解三  因X服从χ2分布，且自由度为2，则必有
        
    注：命题3．6．1．1  (2)若Xi～χ2(ni)(i=1，2，…，k)，且X1，X2，…，Xk相互独立，则
                 
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考研数学三

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