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设A是一个m×n矩阵，证明：矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
设A是一个m×n矩阵，证明：矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
admin
2015-07-15
25
问题
设A是一个m×n矩阵，证明：矩阵A的行空间维数等于它的列空间维数。
选项
答案
证明：设矩阵[*]，设行空间的维数为r，列空间维数为r
1
，a
1
，a
2
，…，a
m
为矩阵A的行向量组，不妨设a
1
，a
2
，…，a
r
为一组基， 所以方程组x
1
a
1
+x
2
a
2
+…+x
r
a
r
=0只有零解， [*] 因此它的行向量组可以找到r个线性无关的向量，不妨设为(a
11
，a
21
，…，a
r1
)，(a
12
，a
22
，…，a
r2
)，…，(a
1r
，a
2r
，…，a
rr
)，则它们线性无关， 则(a
11
，a
21
，…，a
r1
，…，a
m1
)，(a
12
，a
22
，…，a
r2
，…a
m2
)，…，(a
1r
，a
2r
，…，a
rr
，…
mr
)也线性无关，它们正好是矩阵A的r个列向量，则矩阵A的列空间的维数r
1
≥r。 同理可证r≥r
1
， 所以r=r
1
，即矩阵A行空间的维数等于它列空间的维数。
解析
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本试题收录于：
数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
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