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设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的 (1)充分条件是α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βm等价． (2)充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，β
设n维向量α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，证明：n维向量β1，β2，…，βm线性无关的 (1)充分条件是α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βm等价． (2)充要条件是矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，β
admin
2017-10-19
62
问题
设n维向量α
1
，α
2
，…，α
m
(m＜n)线性无关，证明：n维向量β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关的
(1)充分条件是α
1
，α
2
，…，α
m
与β
1
，β
2
，…，β
m
等价．
(2)充要条件是矩阵A=(α
1
，α
2
，…，α
m
)与矩阵B=(β
1
，β
2
，…，β
m
)等价．
选项
答案
(1)如果α
1
，α
2
，…，α
m
与β
1
，β
2
，…，β
m
等价，则 r(α
1
，α
2
，…，α
m
)=r(β
1
，β
2
，…，β
m
)． 由于α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关，r(α
1
，α
2
，…，α
m
)=m，所以β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关，故充分性成立． (2)必要性．若β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关，则r(α
1
，α
2
，…，α
m
)=r(β
1
，β
2
，…，β
m
)=m． 由于矩阵的秩就是其列向量组的秩，所以r(A)=r(B)，又A与B均为n×m矩阵，故A与B等价． 充分性．若A与B等价，则r(A)=r(B)，因为α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关，有r(A)=m． 于是r(β
1
，β
2
，…，β
m
)=m，所以β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/UaH4777K
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考研数学三
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