2. 考研
  3. 已知二次型f（x1，x2，x3）=xT（ATA）x的秩为2。 （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）求正交变换x=Qy将f化为标准形。

已知二次型f（x1，x2，x3）=xT（ATA）x的秩为2。 （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）求正交变换x=Qy将f化为标准形。

admin2017-12-29  65
问题 已知二次型f（x1，x2，x3）=xT（ATA）x的秩为2。
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求正交变换x=Qy将f化为标准形。
选项
答案（Ⅰ）ATA=[*] 由r（ATA）=2可得 |ATA|=[*]=（a+1）2（a2+3）=0， 所以a=一1。 （Ⅱ）由（Ⅰ）中结果，令矩阵 [*] 解得矩阵B的特征值为λ1=0，λ2=2，λ36。 由（λiE—B）x=0，得对应特征值λ1=0，λ2=2，λ3=6的特征向量分别为 η1=（一1，一1，1）T，η2=（一1，1，0）T，η3=（1，1，2）T。 将η1，η2，η3单位化可得： [*] 令 Q=（α1，α2，α3）=[*] 则正交变换X=Qy可将原二次型化为2y22+6y32。
解析
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考研数学三

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