设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)；

admin2018-01-30 57

问题设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且2f(0)=∫₀²f(x)dx=f(2)+f(3)。
证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)；

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(t)dt，x∈[0，2]。由于f(x)在[0，2]上连续，所以可知F(x)在[0，2]上可导，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0，2)，使得f(η)=[*]，即 2f(η)=∫₀²f(x)dx，所以f(η)=f(0)。

解析

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考研数学二

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