设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3的矩阵A满足AB=B，其中用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．

admin2020-03-05 34

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+4x₂²+x₃²+2ax₁x₂+2bx₁x₃+2cx₂x₃的矩阵A满足AB=B，其中

用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．

选项

答案由AB=B知，矩阵B的每一列α_i满足Aα_i=α_i(i=1，2，3)．显然B的第1，2列 [*] 线性无关，所以λ=1是矩阵A的特征值(至少是二重)，α₁，α₂是λ=1的线性无关的特征向量．根据1+1+λ₃=1+4+1，故知矩阵A有特征值λ₃=4．因此，矩阵A的特征值是1，1，4．设λ₃=4的特征向量为α₃=(x₂，x₁，x₃)^T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，有 [*] 解出α₃=(1，2，－1)^T．对α₁，α₂正交化，令β₁=α₁=(1，0，1)^T，则 β₂=α₂－[*]= (1，－1，－1) ^T．再对β₁，β₂，α₃单位化，得 [*] 令Q=[η₁，η₂η₃]，则由正交变换x=Qy，二次型可化为标准形f=y₁² +y₂² +4y₃² ．

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3的矩阵A满足AB=B，其中用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．

考研数学一

将∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化为极坐标下的二次积分________。

非齐次线性方程组Aχ＝B中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则()

设F1(x)，F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是()

曲线y=xex与直线y=ex所围成图形的面积是_________．

设随机事件A，B及其和事件A∪B的概率分别是0．4，0．3和0．6．若表示B的对立事件，那么积事件的概率=_______．

设函数f(u)可导，y=f(x2)。当自变量x在x=—1处取得增量△x=—0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f′(1)等于()

设X1，X2，X3是来自总体N(0，σ2)的简单随机样本，记U=X1+X2与V=X2+X3，则(U，V)的概率密度为_______．

设A为n阶矩阵，αn≠0，满足Aα0＝0，向量组α1，α2满足Aα1＝α0，A2α2＝α0．证明α1，α2，α3线性无关．

计算三重积分I=(x2+y2+z2)dV，其中Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，x2+y2+z2≤4z}．

A、味连B、云连C、桔梗D、雅连E、附子外为后生皮层，木质部导管呈“V”字形，中央有髓的药材是

管理费的收取标准,按征地和拆迁补偿费、勘察设计和前期工程费、建安工程费、住宅小区基础设施建设费的()收取管理费。

个人住房贷款的发放额度一般是按拟购住房价格扣除其不低于价款()的首期付款后的数量来确定。

温家宝总理在视察某动画产业基地的时候表达了“不愿孙子总看奥特曼，他应该多看中国的历史和中国的动画片”的意愿。这启示中国的动漫企业关键要()。

由于()作用，一个感受器细胞的信息输出，不仅取决于它本身的输入，也取决于邻近细胞对它的影响

社会上对不同层次的人们做了划分，这属于()。

A、 B、 C、 A

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3的矩阵A满足AB=B，其中 用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换．

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