设f定义在(a，b)上．证明：若对(a，b)内任一收敛点列{xn}，极限f(xn)都存在，则f在(a，b)内一致连续．

admin2022-11-23 4

问题设f定义在(a，b)上．证明：若对(a，b)内任一收敛点列{x_n}，极限

f(x_n)都存在，则f在(a，b)内一致连续．

选项

答案用反证法．若f在(a，b)上不一致连续，则[*]尽管｜x’-x”｜＜δ，但｜f(x’)-f(x”)｜≥ε₀，取δ_n=1／n，可得x’_n，x”_n∈(a，b)，｜x’_n-x”_n｜＜1／n，但｜f(x’_n)-f(x”_n)｜≥ε₀．在[a，b]上对{x’_n}应用致密性定理，存在子列 [*] 显然{z_n}收敛，而[*]≥ε₀，即{f(z_n))不收敛，与题设矛盾，因而f在(a，b)上一致连续．

解析

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