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设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα一2A2α.证明: BTB是正定矩阵.
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα一2A2α.证明: BTB是正定矩阵.
admin
2014-02-06
113
问题
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A
2
α线性无关,且A
3
α=3Aα一2A
2
α.证明:
B
T
B是正定矩阵.
选项
答案
因为(B
T
B)
T
=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B,故B
T
B是对称矩阵.又[*]x≠0,由于矩阵B可逆,恒有Bx≠0,那么恒有x
T
(B
T
B)x=(Bx)
T
(Bx)>0,故二次型x
T
(B
T
B)x是正定二次型,从而矩阵B
T
B是正定矩阵.
解析
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考研数学三
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