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  3. 村民陶某承包一块长方形种植地，他将地分割成如图所示的 4 个小长方形，在 A、B、C、D 四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形 A、B、C 的周长分别是 20 米、24 米、28 米，那么长方形 D 的最大面积是：

村民陶某承包一块长方形种植地，他将地分割成如图所示的 4 个小长方形，在 A、B、C、D 四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形 A、B、C 的周长分别是 20 米、24 米、28 米，那么长方形 D 的最大面积是：

admin2021-03-31  66
问题 村民陶某承包一块长方形种植地，他将地分割成如图所示的 4 个小长方形，在 A、B、C、D 四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形 A、B、C 的周长分别是 20 米、24 米、28 米，那么长方形 D 的最大面积是：
选项 A、42 平方米
B、49 平方米
C、64 平方米
D、81 平方米
答案C
解析 解法一：
第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用方程法解题。
第二步，如图所示，设长方形 A 的宽为 a，长为 b，则 a＋b＝10。长方形 B 的宽为 c，则 b＋c＝12。长方形 C
的长为 d，则 a＋d＝14，所以 c＋d＝（a＋d）＋（b＋c）－（a＋b）＝16，长方形 D 的周长为 32。
或者由于 C 的周长比 A 多 28－20＝8，与 D 比 B 多的周长一致，可知 D 的周长为 24+8＝32。

第三步，周长一定，越接近正方形面积越大，故 D 为正方形时即边长为 8 时面积最大，此时面积等于 8×8＝64。
因此，选择 C 选项。
解法二：
第一步，本题考查几何问题，属于平面几何类，用方程法解题。
第二步，设 A 的长和宽分别为 x、y，由长方形 A 周长为 20 米，可得 x＋y＝10；由长方形 B 周长 24 米，且长方形 B 与长方形 A 的长相同，可得 B 的长和宽分别为 x、y+2；由长方形 C 周长 28 米，且长方形 C 与长方形 A 的宽相同，可得 C 的长和宽分别为 x+4、y。那么长方形 D 的面积 S＝（x+4）（y+2）＝（x＋4）（10－x＋2）＝（x＋4）（12－x），当且仅当 x＋4＝12－x，即 x＝4 时 S 取最大值，此时 S＝64，故长方形 D 的最大面积为 64 平方米。
因此，选择 C 选项。
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