2. 考研
  3. 设g(x)可导，｜g’(x)｜＜1,且当a≤x≤b时，a＜g(x)＜b,又x+g(x)－2f(x)=0,若{xn}满足xn+1=f(xn),n=0,1,2,…,x0∈[a,b]。证明： 存在，并求其值。

设g(x)可导，｜g’(x)｜＜1,且当a≤x≤b时，a＜g(x)＜b,又x+g(x)－2f(x)=0,若{xn}满足xn+1=f(xn),n=0,1,2,…,x0∈[a,b]。证明： 存在，并求其值。

admin2022-03-23  72
问题 设g(x)可导，｜g’(x)｜＜1,且当a≤x≤b时，a＜g(x)＜b,又x+g(x)－2f(x)=0,若{xn}满足xn+1=f(xn),n=0,1,2,…,x0∈[a,b]。证明：
存在，并求其值。
选项
答案由f(x)=[*][x+g(x)],a≤x≤b时，a＜g(x)＜b，有a＜[*][x+g(x)]＜b,即 a＜f(x)＜b ② 又由拉格朗日中值定理，有 xn+1－xn=f(xn)－f(xn-1)=f’(η)(xn－xn-1) 其中η介于xn与xn-1之间，n=1,2,… 由②知a＜xn+1=f(xn)＜b，即{xn}有界，由①知f’(η)＜0，于是当x1＞x0时，有x2＞x1,...,由数学归纳法知{xn}单调增加，同理，当x1＜x0时，有{xn}单调减少，根据单调有界准则，[*]xn[*],于是A=f(A)，由第一问得知，A=ξ,即[*]xn=ξ.
解析
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考研数学三

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