设A为n阶实对称矩阵，满足A2＝E，并且r(A＋E)＝k＜n． ①求二次型χTAχ的规范形． ②证明B＝E＋A＋A2＋A3＋A4是正定矩阵，并求｜B｜．

admin2019-12-23 27

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²＝E，并且r(A＋E)＝k＜n．
①求二次型χ^TAχ的规范形．
②证明B＝E＋A＋A²＋A³＋A⁴是正定矩阵，并求｜B｜．

选项

答案①由于A²＝E，A的特征值λ应满足λ²＝1，即只能是1和－1．于是A＋E的特征值只能是2和0．A＋E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵∧，∧的秩等于r(A＋E)＝k．于是A＋E的特征值是2(k重)和0(n－k重)，从而A的特征值是1(k重)和－1(n－k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n－k，χ^TAχ的规范形为 y₁²＋y₂²＋…＋y_k²－y_k+1²－…－y_n²． ②B是实对称矩阵．由A²＝E，有B＝3E＋2A，B的特征值为5(k重)和1(n－k重)都是正数．因此B是正定矩阵．

解析

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考研数学一

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2＝E，并且r(A＋E)＝k＜n． ①求二次型χTAχ的规范形． ②证明B＝E＋A＋A2＋A3＋A4是正定矩阵，并求｜B｜．

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设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，已知E(Xk)=ak(k=1，2，3，4)．证明：当n充分大时，随机变量Zn=Xi2近似服从正态分布，并指出其分布参数．

设｛μn｝，｛cn｝为正项数列，证明：若对一切正整数n满足cn一cn＋1≥a(a＞0)，且也收敛·

设{Xn}是一随机变量序列，Xn(n=1，2，…)的概率密度为试证：

已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak=O试证明：矩阵E-A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．

设矩阵A=，行列式｜A｜=－1，又A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=(一1，一1，1)T，求a，b，c及λ0的值．

求数项级数的和。

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1＝α1＋2α2＋2α3，Aα2＝2α1＋α2＋2α3，Aα3＝2α1＋2α2＋α3．(1)求A的特征值．(2)判断A是否相似于对角矩阵?

设an=．证明：对任意常数λ＞0，收敛．

设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．

设A、B为两个n阶矩阵，且A的n个特征值两两互异，若A的特征向量恒为B的特征向量，则AB=BA．

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投资机会阶段，误差率应在()以内。

当矿井或一翼总风量不足或者过盛时，需要调节总风量，即调整主要通风机的工况点，采取的措施主要是()。

根据《企业所得税法》的规定，下列支出可以在发生当期直接在企业所得税税前扣除的是()。

中华民族历史上许许多多爱国故事感人肺腑，流播四海，代代传颂。其中，“苟利国家生死以，岂因祸福避趋之”“位卑未敢忘忧围”“报围之心，死而后已”等名言，所集中体现的爱国主义优良传统是

ispopularinthesouth?isknownforoneofitsmembersbeingthelargestroseplant?

Howmanyofuswouldtempforthreeyearswhilewewaitedfortheperfectjob?Notmanyofus,perhaps.ButWentworthMiller,th

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______ispopularinthesouth?______isknownforoneofitsmembersbeingthelargestroseplant?

Howmanyofuswouldtempforthreeyearswhilewewaitedfortheperfectjob?Notmanyofus,perhaps.ButWentworthMiller,th

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