设A是m×n矩阵．B是n×p矩阵．如AB=0．则r(A)+r(B)≤n．

admin2017-08-28 46

问题设A是m×n矩阵．B是n×p矩阵．如AB=0．则r(A)+r(B)≤n．

选项

答案构造齐次方程组Ax=0，对矩阵B按列分块，记B=(β₁，β₂，…，β_p)，那么 AB=A(β₁，β₂，…，β_p)=(Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_p)=(0，0，…，0)，于是{β₁，β₂，…，β_p}[*]{Ax=0解向量}，而Ax=0解向量的秩=n一r(A)，所以 r(B)=r(β₁，β₂，…，β_p)≤n—r(A)，即r(A)+r(B)≤n．

解析

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