[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=___________．

admin2019-04-28 76

问题 [2013年] 设A=(a_ij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，A_ij为a_ij的代数余子式，若a_ij+A_ij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=___________．

选项

答案－1

解析因a_ij=－A_ij，则(a_ij)=(－A_ij)，(a_ij)^T=(－A_ij)^T=－(A_ij)，故A^T=－A^*，从而|A|=|A^T|=|－A^*|=(－1)³|A|^3－1=－|A|²，即|A|²+|A|=|A|(|A|+1)=0，故|A|=0或|A|=－1．
若|A|=0，则由|A|=a_i1A_i1+a_i2A_i2+a_i3A_i3=(a_i1²+a_i2²+a_i3²)=0(i=1，2，3)得到a_ij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾．故|A|=－1．

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考研数学三

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