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设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj。 (Ⅰ)记xT=(x1，x2，…，xn)，把f(x1，x2，…，xn)=xixj。写成矩阵
设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj。 (Ⅰ)记xT=(x1，x2，…，xn)，把f(x1，x2，…，xn)=xixj。写成矩阵
admin
2018-04-18
72
问题
设A为n阶实对称矩阵，r(A)=n，A
ij
是A=(a
ij
)
n×n
中元素a
ij
的代数余子式(i，j=1，2，…n)，二次型f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=
x
i
x
j
。
(Ⅰ)记x
T
=(x
1
，x
2
，…，x
n
)，把f(x
1
，x
2
，…，x
n
)=
x
i
x
j
。写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A
-1
；
(Ⅱ)二次型g(x)=x
T
Ax与f(x)的规范形是否相同?说明理由。
选项
答案
(Ⅰ)由题设条件， [*] 其中(*)的理由：A是可逆的实对称矩阵，故(A
-1
)
T
=(A
T
)
-1
=A
-1
，因此由实对称的定义知，A
-1
也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质A
*
A=｜A｜E，知A
*
=｜A｜A
-1
，因此A
*
也是实对称矩阵，[*]=A
*
，故(*)成立。 (Ⅱ)因为(A
-1
)
T
AA
-1
=(A
T
)
-1
E=A
-1
，所以由合同的定义知A与A
-1
合同。 由实对称矩阵A与B合同的充要条件：二次型x
T
Ax与x
T
Bx有相同的正、负惯性指数。 可知，g(x)=x
T
Ax与f(x)有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/RpX4777K
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考研数学三
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