证明ax=1(a＞0，a≠1)．

admin2022-10-31 6

问题证明

a^x=1(a＞0，a≠1)．

选项

答案当0＜a＜1时，对[*]ε＞0，由不等式｜a^x-1｜＜ε得1-ε＜a^x＜1+ε．不妨限制ε＜1／2．由于0＜a＜1时，y=log_ax在R⁺上严格递减．于是当log_a(1+ε)＜x＜log_a(1-ε)时有1-ε＜a^x＜1+ε．其中log_a(1+ε)＜0，log_a(1-ε)＞0，取δ=min{-log_a(1+ε)．10g_a(1-ε)}，则当0＜｜x-0｜＜δ时，有1-ε＜a^x＜1+ε，即｜a^x-1｜＜ε．故[*]a^x=1．当a＞1时．对[*]ε＞0(小妨设ε＜1)，为使｜a^x-1｜＜ε，即1-ε＜a^x＜1+ε．由于a＞1时，y=log_ax在R⁺上严格递增，于是当log_a(1-ε)＜x＜log_a(1+ε)时有1-ε＜a^x＜1+ε．于是令δ=min{log_a(1+ε)，-log_a(1-ε)}，则当0＜｜x-0｜＜δ时，就有｜a^x-1｜＜ε．综上所述，[*]a^x=1(a＞0，a≠1)．

解析

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