设f(x)在区间(0，+∞)上连续，且严格单调增加．试求证F(x)=在区间(0，+∞)上也严格单调增加．

admin2014-10-08 67

问题设f(x)在区间(0，+∞)上连续，且严格单调增加．试求证F(x)=

在区间(0，+∞)上也严格单调增加．

选项

答案对第1个积分作变量变换，令[*]．则[*]当0＜x＜1时，由[*]于是当[*]时，有[*]当x＞1时，由[*]＜1，于是当[*]时，有[*]f(u)＜0．不论哪种情形，总有F^’(x)＞0(当r＞0且x≠1)．此外易知F^’(1)=0．所以当0＜x＜+∞时，F(x)严格单调增加．

解析

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