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设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2． (1)求矩阵A的特征值； (2)判断矩阵A可否对角化．
设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2． (1)求矩阵A的特征值； (2)判断矩阵A可否对角化．
admin
2016-10-13
75
问题
设A是三阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα
1
=α
2
+α
3
，Aα
2
=α
1
+α
3
，Aα
3
=α
1
+α
2
．
(1)求矩阵A的特征值；
(2)判断矩阵A可否对角化．
选项
答案
(1)因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以α
1
+α
2
+α
3
≠0， 由A(α
1
+α
2
+α
3
)=2(α
1
+α
2
+α
3
)，得A的一个特征值为λ
1
=2； 又由A(α
1
—α
2
)=一(α
1
—α
2
)，A(α
2
—α
3
)=一(α
2
—α
3
)，得A的另—个特征值为λ
2
=一1．因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以α
1
—α
2
与α
2
—α
3
也线性无关，所以λ
2
=一1．为矩阵A的二重 特征值，即A的特征值为2，一1，一1． (2)因为
1
—α
2
，α
2
—α
3
为属于二重特征值一1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/REu4777K
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考研数学一
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