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设向量组β1＝α－α1，β2＝α－α2，…，βs＝α－αs，α＝α1＋α2＋…＋αs(s＞1)，则向量组的秩

admin2020-03-02  15
问题 设向量组β1＝α－α1，β2＝α－α2，…，βs＝α－αs，α＝α1＋α2＋…＋αs(s＞1)，则向量组的秩
选项 A、r(α1，α2，…，αs)＜r(β1，β2，…，βs)．
B、r(α1，α2，…，αs)＞r(β1，β2，…，βs)．
C、r(α1，α2，…，αs)＜r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs)．
D、r(α1，α2，…，αs)＝r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs)．
答案D
解析 显然，向量组β1，β2，…，βS可由α1，α2，…，αS线性表示．由于β1＋β2＋…＋βs＝sα－(α1＋α2＋…＋αs)＝(s－1)α，从而解得α＝(β1＋β2＋…＋βs)．于是有

    即向量组α1，α2，…，αs也可由β1，β2，…，βs线性表示．因此，向量组α1，α2，…，αs与β1，β2，…，βs等价．故知r(α1，α2，…，αs)＝r(β1，β2，…，βs)．选项A，B均应排除．并且
    r(α1，α2，…，αs)＝r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs)，
    选项C应该排除．故应选D．
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考研数学一

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