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[2014年] 设α1，α2，α3是3维向量，则对任意常数k，l，向量α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )．
[2014年] 设α1，α2，α3是3维向量，则对任意常数k，l，向量α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )．
admin
2021-01-19
115
问题
[2014年] 设α
1
，α
2
，α
3
是3维向量，则对任意常数k，l，向量α
1
+kα
3
，α
2
+lα
3
线性无关是向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关的( )．
选项
A、必要非充分条件
B、充分非必要条件
C、充分必要条件
D、既非充分也非必要条件
答案
A
解析
可用秩证明选项(A)成立．
记β
1
=α
1
+kα
3
，β
2
=α
2
+lα
3
，则[β
1
，β
2
]=[α
1
，α
2
，α
3
]
．若α
1
，α
2
，α
3
线性无关，则[α
1
，α
2
，α
3
]为可逆矩阵，故秩(β
1
，β
2
)=秩[[α
1
，α
2
，α
3
]
]=秩(
)=2，即β
1
=α
1
+kα
3
，β
2
=α
2
+lα
3
线性无关．
反之，设α
1
，α
2
线性无关，α
3
=O，则对任意常数k，l必有α
1
+kα
3
，α
2
+lα
3
线性无关，但α
1
，α
2
，α
3
线性相关，故α
1
+kα
3
，α
2
+lα
3
线性无关是向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关的必要但非充分条件．仅(A)入选．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Qv84777K
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考研数学二
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